Resumo extraído do Capítulo 1 do livro Computer Organization and Design – ARM Edition, de David Patterson e John Hennessy

Capítulo 1 - Abstrações sobre Computadores e Tecnologia

📘 1.1 – Introdução

Esta secção introduz o campo dos sistemas computacionais, destacando a sua relevância na sociedade moderna. Os autores sublinham como a computação está em constante inovação, com impactos comparáveis aos das revoluções agrícola e industrial. Referem-se ao progresso extraordinário impulsionado pela Lei de Moore, que prevê a duplicação dos recursos dos circuitos integrados a cada 18 a 24 meses.

Dá-se destaque à evolução de aplicações antes consideradas ficção científica, como:

• Computadores em automóveis;

• Telemóveis;

• O Projecto Genoma Humano;

• A Web e motores de busca;

• Veículos autónomos e realidade aumentada.

São descritas três grandes categorias de computadores:

1. Computadores pessoais (PCs) – focados na performance para um utilizador a baixo custo;

2. Servidores – gerem grandes cargas de trabalho e exigem elevada fiabilidade;

3. Computadores embebidos – são os mais comuns e estão integrados em dispositivos como automóveis, televisores, aviões, etc.

Fala-se da Era pós-PC, dominada por dispositivos móveis pessoais (PMDs), como smartphones e tablets, que usam aplicações distribuídas entre o dispositivo e a computação na nuvem (cloud computing). O conceito de Software como Serviço (SaaS) também é apresentado.

Finalmente, são introduzidos os objectivos do livro, que incluem:

• Entender a tradução de linguagens de alto nível para linguagem de máquina;

• Compreender o impacto do hardware e do software no desempenho;

• Melhorar a eficiência energética;

• Explorar o paralelismo e as técnicas modernas de projecto de hardware.

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💡 1.2 – Oito Grandes Ideias da Arquitectura de Computadores

Esta secção apresenta oito princípios fundamentais que orientam o design de computadores desde há décadas:

1. Conceber para a Lei de Moore – antecipar a evolução tecnológica ao longo do tempo.

2. Utilizar abstracções para simplificar o design – esconder complexidades com modelos mais simples.

3. Tornar o caso comum mais rápido – optimizar as operações mais frequentes.

4. Performance através de paralelismo – realizar várias operações simultaneamente.

5. Performance através de pipeline – sobrepor etapas de execução de instruções (semelhante a uma linha de montagem).

6. Performance através de previsão (prediction) – adivinhar o caminho provável de execução para ganhar tempo.

7. Hierarquia de memórias – combinar diferentes tipos de memória para equilibrar velocidade, custo e capacidade.

8. Confiabilidade através de redundância – usar componentes duplicados para lidar com falhas.

Cada ideia é representada por um ícone e será usada ao longo do livro para ilustrar como essas estratégias estão presentes nas arquitecturas modernas.

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🧩 1.3 – Abaixo do Teu Programa 

Esta secção explica como um programa escrito numa linguagem de alto nível é transformado até chegar ao nível do hardware:

• As aplicações são compostas por milhões de linhas de código e usam bibliotecas sofisticadas.

• O hardware só compreende instruções muito simples em linguagem binária (0s e 1s).

• Várias camadas de software são necessárias para traduzir essas aplicações para uma forma compreensível pelo hardware.

Dois componentes essenciais do software de sistema são:

1. Sistema operativo (OS) – gere os recursos, entrada/saída e memória, permitindo que múltiplos programas coexistam.

2. Compilador – traduz programas de linguagens como C ou Java para linguagem de máquina, passando por uma fase intermédia de linguagem de montagem (assembly).

O processo é explicado assim:

• O programador escreve código em C (alto nível);

• O compilador traduz para assembly;

• O assembler converte o código assembly para linguagem binária (linguagem de máquina).

As vantagens das linguagens de alto nível são:

• Maior expressividade e produtividade;

• Portabilidade entre computadores diferentes;

• Redução do número de linhas necessárias para implementar uma ideia.

O conceito de abstracção é reforçado como uma das ideias-chave que tornam possível este empilhamento de camadas de software sobre hardware.

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🧠 1.4 – Por Detrás da Máquina 

Esta secção introduz a estrutura interna de um computador, destacando os seus cinco componentes clássicos:

1. Entrada (Input) – dispositivos como teclados, microfones ou sensores;

2. Saída (Output) – ecrãs, colunas, impressoras;

3. Memória – armazena dados e programas em execução;

4. Caminho de dados (Datapath) – executa operações aritméticas e lógicas;

5. Unidade de controlo (Control) – coordena as operações do datapath, memória e I/O.

As secções seguintes exploram estes componentes em mais detalhe. A memória e o processador formam o núcleo da execução, enquanto os dispositivos de entrada e saída asseguram a comunicação com o exterior.

🖥️ Dispositivos de entrada/saída:

• Os ecrãs modernos usam LCDs com matriz activa, compostos por milhões de píxeis controlados por transístores.

• A imagem é mantida num buffer de imagem (frame buffer), que é lido ciclicamente.

• Tablets e smartphones utilizam ecrãs tácteis capacitivos, que detectam toques com base em alterações de campo eléctrico.

🧩 Organização física:

• Mostra-se o exemplo do iPad 2 com os seus componentes: ecrã, câmara, sensores (giroscópio, acelerómetro), chip A5 (com dois núcleos ARM), memória, e interfaces de comunicação (Wi-Fi, Bluetooth).

💾 Memória:

• A memória principal é baseada em DRAM, que é volátil (perde dados sem energia).

• A memória cache, feita com SRAM, é mais rápida mas mais cara, usada como buffer entre o processador e a DRAM.

• A memória flash, não volátil, é usada em dispositivos móveis como memória secundária. Tem limitações no número de escritas possíveis.

🌐 Redes:

• Os computadores estão ligados por redes locais (LANs) ou redes alargadas (WANs).

• A comunicação em rede permite:

  • Partilha de recursos;

  • Acesso remoto;

  • Comunicação eficiente.

• O Ethernet é um exemplo de rede local, enquanto redes WAN formam a espinha dorsal da Internet.

• O Wi-Fi (IEEE 802.11) tornou-se central na era pós-PC, sendo económico e de elevada largura de banda.

📏 Abstracção: Arquitetura e Implementação

• Introduz-se a arquitectura do conjunto de instruções (ISA) como a interface entre o hardware e o software de baixo nível.

• O ABI (Application Binary Interface) define a compatibilidade binária de aplicações.

• Diferencia-se arquitectura (funções oferecidas) de implementação (como são concretizadas essas funções).

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🔧 1.5 – Tecnologias para Construir Processadores e Memórias

Esta secção aborda as tecnologias físicas que permitiram a evolução dos computadores, com foco especial nos circuitos integrados.

⚙️ Evolução tecnológica:

• Inicia-se com as válvulas (1950s), passando pelos transístores, depois os circuitos integrados (IC) e mais tarde os VLSI (Very Large Scale Integration).

• A Lei de Moore prevê a duplicação do número de transístores num chip a cada 18-24 meses.

🏭 Processo de fabrico:

• O fabrico começa com um lingote de silício, cortado em wafers.

• Os wafers passam por 20 a 40 etapas de processamento, criando camadas de transístores, condutores e isoladores.

• Cada wafer é dividido em dies (chips), que são testados. Os bons são embalados e vendidos.

• O rendimento (yield) depende do número de dies bons por wafer, que diminui com o aumento da área do die.

🧪 Fórmulas de custo:

Apresenta-se uma fórmula simplificada para o custo por die:

Custo por die = Custo por wafer / (dies por wafer × rendimento)

E outra para estimar os dies por wafer e o rendimento com base em defeitos e área.

📏 Processo de miniaturização:

• A escala de fabrico (ex.: 32 nm) define o tamanho mínimo de elementos no chip.

• Chips mais pequenos e de menor consumo são mais baratos e permitem maior densidade por wafer.

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🧮 1.6 – Desempenho (Performance)

Esta secção trata de como avaliar o desempenho de computadores, tanto do ponto de vista do utilizador como do engenheiro.

📊 Definir desempenho:

• Para o utilizador: tempo de resposta (tempo entre início e fim de uma tarefa).

• Para centros de dados: vazão (throughput) – número de tarefas concluídas por unidade de tempo.

• Um sistema com maior vazão pode não ter menor tempo de resposta para um utilizador individual.

✈️ Exemplo ilustrativo:

• Compara-se o desempenho com o transporte aéreo: o Concorde é o mais rápido para uma pessoa, mas o Boeing 747 tem maior vazão por transportar mais passageiros.

📐 Fórmulas e métricas:

• Define-se "A é n vezes mais rápido que B" como:

PerformanceA / PerformanceB = TempoB / TempoA

• São discutidas várias formas de medir desempenho, como instruções por segundo (IPS), ciclos por instrução (CPI), frequência do relógio (clock rate), etc.

📉 Vieses e armadilhas:

• Medir mal o desempenho pode levar a conclusões erradas.

• Benchmarks específicos, como os apresentados mais adiante (ex.: SPEC), tentam capturar métricas reais de desempenho com aplicações típicas.

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🔋 1.7 – O Limite da Energia

Esta secção aborda o desafio crítico do consumo de energia e potência nos microprocessadores modernos.

• Durante décadas, o clock rate e a potência aumentaram em paralelo, até se atingir um limite físico de dissipação térmica (limite de arrefecimento).

• Este limite é conhecido como Power Wall, e representa uma barreira à continuação do aumento do desempenho apenas através da frequência.

⚙️ Energia e potência em chips CMOS:

• A tecnologia dominante de fabrico é CMOS (semicondutor de óxido metálico complementar).

• O consumo principal de energia é o consumo dinâmico, que ocorre quando os transístores mudam de estado (0↔1).

• A energia consumida por transição é proporcional a:

  $$\text{Energia} \propto \frac{1}{2} C \cdot V^2$$

  onde $C$ é a carga capacitiva e $V$ é a tensão.

• A potência dinâmica depende também da frequência de comutação:

  $$\text{Potência} \propto \frac{1}{2} C \cdot V^2 \cdot f$$

• Para reduzir potência, foi comum diminuir a tensão (~15% por geração). Isso permitiu aumentos no clock sem proporcional aumento de potência.

⚠️ Problemas modernos:

• A descida de tensão tem limites: transístores tornam-se "fugas" (leaky), desperdiçando energia mesmo quando desligados.

• Cerca de 40% da energia consumida em servidores deve-se a fugas estáticas.

• Técnicas como desligar partes do chip e melhorar o arrefecimento são usadas, mas limitadas pelo custo, especialmente em dispositivos móveis.

🔁 Conclusão: o design de microprocessadores teve de mudar drasticamente, pois o caminho tradicional baseado em mais velocidade e transístores tornou-se insustentável.

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🔄 1.8 – A mudança radical: A passagem dos uniprocessadores para os multiprocessadores

Esta secção descreve uma mudança radical na indústria: o abandono dos processadores únicos (uniprocessors) em favor dos multicore.

• Até cerca de 2006, o desempenho melhorava com aumento da frequência e melhorias internas.

• Com a Power Wall, os fabricantes passaram a incluir vários núcleos (cores) num único chip.

  • Exemplo: um “quad-core” tem quatro processadores num só chip.

🧠 Consequências para programadores:

• Antigamente, bastava compilar o código de novo para obter mais desempenho.

• Agora, é necessário reescrever os programas para que tirem partido do paralelismo.

• O paralelismo explícito exige que o programador:

  • Divida as tarefas de forma equilibrada;

  • Minimize o tempo de sincronização e comunicação;

  • Garanta que todas as partes do programa terminam ao mesmo tempo.

🎻 Analogia:

O texto compara o software antigo a música para solista. O software para múltiplos núcleos é como escrever para uma orquestra sinfónica – mais poderoso, mas muito mais difícil.

🧩 Os capítulos seguintes do livro incluem secções sobre as implicações do paralelismo em cada domínio técnico.

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🧪 1.9 – Coisas reais: Avaliação comparativa do Intel Core i7

Esta secção introduz benchmarks reais usados para medir o desempenho de computadores, com foco no Intel Core i7.

📊 Avaliar desempenho:

• O ideal seria correr os programas reais de cada utilizador, mas isso nem sempre é prático.

• Por isso, usam-se benchmarks, que são programas-padrão representativos de workloads típicos.

• O mais importante é o SPEC (System Performance Evaluation Cooperative).

🧮 SPEC CPU2006:

• Divide-se em dois conjuntos:

  • CINT2006 – 12 benchmarks para processamento inteiro (ex.: compiladores, xadrez, simulação de ADN).

  • CFP2006 – 17 benchmarks para vírgula flutuante (ex.: dinâmica molecular, álgebra linear).

• Os factores de desempenho incluem:

  • Contagem de instruções;

  • CPI (ciclos por instrução);

  • Tempo de ciclo de clock.

• É usado o SPECratio:

  $$\text{SPECratio} = \frac{\text{Tempo de referência}}{\text{Tempo de execução}}$$

  Quanto maior o valor, melhor o desempenho.

• Para sumarizar os resultados de múltiplos benchmarks, calcula-se a média geométrica dos SPECratios.

⚡ SPECpower:

• Benchmark voltado para medir eficiência energética (operações por segundo por watt).

• Mede o consumo em diferentes níveis de carga (0% a 100%).

📌 Conclusão: o desempenho real de um processador não pode ser avaliado apenas pela frequência de relógio. Benchmarks como os SPEC ajudam a avaliar a performance com base em situações práticas.

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⚠️ 1.10 – Falácias e Armadilhas 

Esta secção alerta para conceitos errados (falácias) e erros frequentes (armadilhas) na análise e concepção de sistemas computacionais.

Exemplos abordados:

• Armadilha: Pensar que melhorar um único componente de um sistema resultará numa melhoria proporcional no desempenho global.

  • Isto é desmentido pela Lei de Amdahl, que mostra que o ganho total depende da fração do tempo de execução que é efectivamente afectada pela melhoria.

  • Exemplo: se 80% do tempo é gasto em multiplicações, mesmo acelerar essas operações infinitamente não tornará o programa 5 vezes mais rápido.

• Falácia: Supor que computadores com baixa utilização consomem pouca energia.

  • Mesmo com pouca carga, servidores consomem uma grande fração da potência máxima.

• Falácia: Acreditar que optimizar para desempenho e para eficiência energética são objectivos incompatíveis.

  • Em muitos casos, optimizações que reduzem o tempo de execução também reduzem o consumo energético global.

• Armadilha: Usar apenas parte da equação do desempenho para avaliar um sistema.

  • A equação completa considera contagem de instruções, ciclos por instrução (CPI) e frequência do relógio.

  • Usar apenas dois desses factores pode levar a conclusões erradas.

• Exemplo prático: O uso de MIPS como métrica de desempenho pode ser enganador:

  • Não permite comparar arquitecturas diferentes;

  • Varia com o tipo de programa;

  • Pode não refletir o tempo de execução real.

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📌 1.11 – Considerações Finais 

Esta secção fecha o capítulo com uma síntese das ideias abordadas:

• Tempo de execução real é a única medida fiável de desempenho.

• A abstracção é a base da concepção de sistemas computacionais modernos — em particular, a interface entre hardware e software de baixo nível (ISA).

• Moore previa a rápida evolução dos circuitos integrados; no entanto, o desempenho melhorou também com novas ideias arquitectónicas.

• Eficiência energética tornou-se mais importante do que a densidade de transístores, conduzindo à adopção dos processadores multicore.

• O design de computadores modernos equilibra múltiplos factores:

  • Desempenho;

  • Energia;

  • Fiabilidade;

  • Custo total de propriedade;

  • Escalabilidade.

💡 Plano para o livro:
Os próximos capítulos abordam os cinco componentes clássicos:

• Datapath e controlo – Cap. 3, 4 e 6;

• Memória – Cap. 5;

• Entrada/Saída – Cap. 5 e 6.

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🕰️ 1.12 – Perspectiva Histórica e Leituras Complementares 

Esta secção remete para um suplemento online que acompanha o livro.

• Fornece o contexto histórico das ideias apresentadas no capítulo.

• Procura ilustrar o lado humano da evolução tecnológica, mostrando como certos conceitos se desenvolveram ao longo do tempo.

• Ajuda a compreender melhor o presente e a antecipar o futuro da computação.

• Inclui sugestões de leitura complementar, também disponíveis no site do livro.

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Resumo extraído do Capítulo 3 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Capítulo 3: Representação de sinais periódicos em séries de Fourier

3.1 Perspectiva Histórica

Esta secção traça a evolução histórica da análise de Fourier, mostrando como a ideia de decompor fenómenos periódicos em somas de funções trigonométricas remonta à antiguidade (por exemplo, os babilónios na astronomia). No século XVIII, Euler estudou cordas vibrantes, introduzindo a ideia de modos normais como combinações de senos e cossenos. Bernoulli defendeu que todos os movimentos de uma corda poderiam ser representados assim, mas Lagrange criticou a validade para sinais com descontinuidades.
Joseph Fourier retomou o conceito no início do século XIX para estudar a propagação de calor, afirmando que qualquer fenómeno periódico poderia ser descrito por séries de senos e cossenos, mesmo com descontinuidades — uma ideia inovadora mas inicialmente controversa. Fourier enfrentou resistência (inclusive de Lagrange) e dificuldades para publicar o seu trabalho, mas a sua Théorie analytique de la chaleur (1822) tornou-se fundamental. Fourier foi além das séries, propondo a transformação integral (base do que hoje chamamos Transformada de Fourier) para sinais aperiódicos. O impacto do seu trabalho estende-se por múltiplas áreas da ciência, engenharia e matemática, incluindo tópicos como integração, séries temporais, difusão de calor, sinais sinusoidais em circuitos de corrente alternada, ondas marítimas e transmissão de rádio. Finalmente, o texto destaca que, para sinais em tempo discreto, a análise harmónica ganhou relevância com o desenvolvimento da Transformada Rápida de Fourier (FFT) nos anos 60, revolucionando a computação digital de séries de Fourier.

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3.2 Resposta de Sistemas LTI a Exponenciais Complexas

Esta secção demonstra porque é que as exponenciais complexas são tão importantes na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). O ponto central é que uma exponencial complexa é uma função própria de um sistema LTI: a resposta do sistema a uma entrada exponencial é a mesma exponencial multiplicada por um factor constante (o valor próprio ou ganho de frequência do sistema).
Em termos contínuos, uma entrada $e^{st}$ gera uma saída $H(s)e^{st}$, onde $H(s)$ é a transformada de Laplace da resposta impulsional. No caso discreto, uma entrada $z^n$ gera uma saída $H(z)z^n$.
Como consequência, qualquer sinal que possa ser escrito como combinação linear de exponenciais complexas pode ser analisado decompondo cada componente, aplicando a propriedade da sobreposição. Assim, se a entrada for uma soma de exponenciais, a saída será uma soma das mesmas exponenciais, escaladas pelos ganhos de frequência correspondentes. Esta ideia justifica a relevância das séries e transformadas de Fourier para representar sinais e estudar sistemas.
Inclui-se um exemplo de um sistema que apenas aplica um atraso de tempo, mostrando que a exponencial é efectivamente função própria — a saída é a entrada atrasada multiplicada por uma fase.

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3.3 Representação de Sinais Periódicos em Tempo Contínuo (Série de Fourier)

Aqui é introduzida formalmente a Série de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Define-se que um sinal é periódico se $x(t) = x(t + T)$ para um período $T$. O sinal pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas com frequências harmónicas múltiplas da fundamental:

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

com $\omega_0 = 2\pi/T$.
É demonstrado que combinações lineares de exponenciais harmonicamente relacionadas continuam a ser periódicas. Apresenta-se a relação entre exponenciais e senos/cossenos, mostrando como sinais reais podem ser escritos em forma trigonométrica.
Segue-se o processo de determinação dos coeficientes $a_k$ (análise) através de integração ao longo de um período, baseando-se na ortogonalidade das exponenciais. Também se ilustra a interpretação física de cada termo: o coeficiente $a_0$ representa a componente DC (média), enquanto os outros descrevem a energia distribuída pelas harmónicas.
Exemplos práticos incluem uma onda sinusoidal, uma combinação de senos e cossenos, e uma onda quadrada — mostrando como sinais com descontinuidades podem ser aproximados por somas finitas de harmónicas.

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3.4 Convergência da Série de Fourier

Esta secção discute as condições sob as quais a Série de Fourier efectivamente converge para o sinal original. Euler e Lagrange duvidavam da validade de representar funções descontínuas com somas de funções contínuas. Fourier, no entanto, mostrou que mesmo sinais como a onda quadrada podem ser representados correctamente no sentido de energia (ou seja, o erro quadrático médio tende para zero).
São introduzidas condições práticas de convergência:

• Se um sinal for contínuo e de energia finita num período, a sua Série de Fourier converge.

• Para sinais descontínuos, são apresentadas as condições de Dirichlet: o sinal deve ter energia finita, variação limitada (número finito de máximos e mínimos por período) e um número finito de descontinuidades.
  Se estas condições forem satisfeitas, a Série de Fourier converge para o sinal original em todos os pontos de continuidade e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade (ex. Gibbs phenomenon).
  O famoso fenómeno de Gibbs mostra que, perto das descontinuidades, a soma parcial da Série de Fourier apresenta oscilações que não desaparecem, mas concentram-se cada vez mais junto à descontinuidade à medida que se somam mais harmónicas. Mesmo assim, a energia do erro global tende para zero.

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3.5 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Contínuo

Esta secção organiza e descreve as propriedades fundamentais das Séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo. Estas propriedades são essenciais para simplificar cálculos e interpretar resultados.

As principais propriedades abordadas são:

• Linearidade: A Série de Fourier é linear. Se dois sinais periódicos têm séries de Fourier conhecidas, qualquer combinação linear destes sinais resulta numa combinação linear dos coeficientes das séries.

• Deslocamento Temporal: Um deslocamento no tempo de um sinal resulta numa rotação de fase nos coeficientes. Assim, se deslocarmos o sinal em $t_0$, os coeficientes multiplicam-se por $e^{-jkw_0 t_0}$.

• Inversão Temporal: Inverter um sinal no tempo equivale a inverter a sequência de coeficientes: $a_k \rightarrow a_{-k}$.

• Escalonamento Temporal: Alterar a escala de tempo muda o período do sinal e a frequência fundamental, mas os coeficientes mantêm-se inalterados.

• Multiplicação de Sinais: Multiplicar dois sinais periódicos no domínio temporal corresponde a uma convolução discreta dos seus coeficientes no domínio da frequência.

• Conjugação: O conjugado de um sinal resulta nos coeficientes conjugados e invertidos: $a_k^* = a_{-k}$.

• Sinais Reais: Se o sinal é real, os coeficientes são conjugados simétricos: $a_{-k} = a_k^*$.

• Sinais Pares ou Ímpares: Para sinais reais, se forem pares, os coeficientes são reais e pares; se forem ímpares, os coeficientes são imaginários puros e ímpares.

• Diferenciação e Integração: Derivar um sinal corresponde a multiplicar os coeficientes por $jkw_0$; integrar corresponde a multiplicar os coeficientes pelo inverso (salvo o termo DC).

• Relação de Parseval: A potência média de um sinal periódico é igual à soma das potências médias de cada harmónica: 

• $\frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2.$

Estas propriedades são resumidas numa tabela para consulta rápida e exemplificadas com pequenos exercícios que mostram como podem poupar cálculos. A intuição é que manipulando sinais no tempo podemos prever e controlar o efeito sobre o espectro de Fourier.

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3.6 Séries de Fourier em Tempo Discreto

Nesta secção, o conceito de Séries de Fourier é estendido a sinais periódicos em tempo discreto. A ideia principal é análoga ao caso contínuo, mas adaptada à natureza discreta dos sinais.

• Um sinal discreto $x[n]$ é periódico com período $N$ se $x[n] = x[n + N]$.

• A representação em série de Fourier é dada por:

  $$x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j(2\pi/N)kn}.$$

• Os coeficientes são obtidos por:

  $$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2\pi/N)kn}.$$

Comparando com o caso contínuo, destaca-se que:

• O número de harmónicas distintas é finito (N coeficientes para período N).

• Os expoentes são amostrados uniformemente no círculo unitário.

• A periodicidade de $e^{j(2\pi/N)kn}$ implica que o espectro é também periódico (aliasing inerente).

São discutidos exemplos simples de sinais discretos, como sequências binárias ou impulsos periódicos, e mostra-se como se obtêm os espectros. Este formalismo é a base para o desenvolvimento posterior da Transformada Discreta de Fourier (DFT) e da FFT.

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3.7 Propriedades da Série de Fourier em Tempo Discreto

Tal como na secção 3.5, mas agora no contexto discreto, são apresentadas as propriedades que permitem manipular séries de Fourier de sinais discretos:

• Linearidade: Mantém-se.

• Deslocamento Temporal: Deslocar uma sequência no tempo adiciona uma fase exponencial ao espectro.

• Inversão Temporal: Inverter o sinal inverte os índices dos coeficientes.

• Multiplicação: A multiplicação de duas sequências periódicas corresponde a uma convolução discreta circular dos seus coeficientes.

• Parseval: A soma da energia de um período é igual à soma dos quadrados das magnitudes dos coeficientes:

  $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2.$$

Estas propriedades são organizadas numa tabela análoga à do caso contínuo, facilitando o uso prático em problemas de análise de sinais e sistemas discretos.

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3.8 Resposta de Sistemas LTI a Sinais Periódicos

Esta secção liga tudo: mostra como as séries de Fourier permitem analisar a resposta de sistemas LTI a sinais periódicos, tanto contínuos como discretos.

A ideia é:

• Se a entrada $x(t)$ ou $x[n]$ é uma combinação de exponenciais complexas, e sabendo que cada exponencial é função própria do sistema LTI, então a saída é simplesmente a soma das mesmas exponenciais multiplicadas pelos ganhos do sistema em cada frequência.

• Assim, o sistema filtra cada harmónica de forma independente, modificando a amplitude e fase segundo a resposta em frequência $H(j\omega)$ ou $H(e^{j\Omega})$.

• Na prática, isto significa que podemos prever o comportamento de circuitos, filtros digitais e outros sistemas LTI analisando a resposta em frequência e o espectro de entrada.

A secção termina com exemplos ilustrativos: por exemplo, um circuito RC filtrando uma onda quadrada, mostrando como o espectro de saída atenua harmónicas de alta frequência — demonstrando o papel da resposta em frequência como “peneira” de harmónicas.

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Secção 3.9 — Filtragem

A filtragem consiste em alterar as amplitudes relativas dos componentes de frequência de um sinal ou até eliminar alguns completamente. Os sistemas LTI (Lineares e Invariantes no Tempo) que modificam o espectro de forma controlada são chamados de filtros modeladores de frequência. Os filtros selectivos de frequência deixam passar algumas frequências quase sem distorção e atenuam ou rejeitam outras.

Como vimos, no domínio da frequência, a saída de um sistema LTI resulta da multiplicação das componentes do sinal de entrada pela resposta em frequência do sistema. Por isso, projectar filtros passa por escolher adequadamente essa resposta em frequência.

3.9.1 Filtros modeladores de frequência

Um exemplo comum está nos sistemas de áudio. Os filtros LTI nesses sistemas permitem ao utilizador ajustar o balanço entre graves e agudos. Estes filtros formam etapas de um equalizador, muitas vezes dividido em vários estágios em cascata, cujo efeito global resulta do produto das respostas em frequência de cada estágio.

• Mostram-se exemplos de curvas de magnitude em dB (20 log10 |H(jω)|), num gráfico log-log.

• Outro exemplo importante é o filtro diferenciador, com resposta em frequência H(jω) = jω. Amplifica mais as componentes de alta frequência, o que o torna útil, por exemplo, para realçar contornos em imagens (realce de transições bruscas em brilho). A aplicação a imagens bidimensionais é ilustrada, mostrando como realça bordas verticais ou horizontais consoante o conteúdo espectral em cada direcção.

No domínio discreto, os filtros LTI também são fundamentais. Usam-se em processamento digital (capítulo 7), por exemplo para separar variações de curto e longo prazo em séries temporais (dados económicos, demográficos). Um exemplo simples é o filtro média de dois pontos:

$$y[n] = \frac{1}{2} (x[n] + x[n-1])$$

que actua como um filtro passa-baixo, atenuando altas frequências e preservando variações lentas.

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3.9.2 Filtros selectivos de frequência

Estes filtros são desenhados para deixar passar algumas bandas de frequência e rejeitar outras com a maior precisão possível. Por exemplo:

• Em áudio, podem remover ruído de alta frequência.

• Em comunicações (como AM), permitem separar canais codificados em diferentes bandas.

Existem tipos básicos bem definidos:

• Passa-baixo: passa baixas frequências, rejeita altas.

• Passa-alto: o inverso.

• Passa-banda: passa uma banda específica.

As frequências de corte marcam as fronteiras entre bandas passantes e de rejeição.

A figura 3.26 ilustra a resposta em frequência de um filtro passa-baixo ideal. A figura 3.27 mostra filtros passa-alto e passa-banda ideais (observa-se simetria em torno de ω=0 porque usamos exponenciais complexas). Para tempo discreto, a resposta em frequência deve ser periódica (figura 3.28), com período 2π.

Embora úteis para especificação teórica, os filtros ideais não são realizáveis fisicamente. Na prática, usam-se aproximações com transições menos abruptas e características ajustadas a cada aplicação.

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Secção 3.10 — Exemplos de filtros contínuos descritos por equações diferenciais

Os filtros contínuos reais são muitas vezes implementados por circuitos cujas relações entrada-saída obedecem a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

3.10.1 Um filtro RC passa-baixo simples

Um exemplo clássico é o circuito RC de primeira ordem, com o condensador como saída. A equação diferencial:

$$RC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v_s(t)$$

leva a uma resposta em frequência:

$$H(jω) = \frac{1}{1 + jωRC}$$

• Para ω≈0, |H(jω)|≈1 → passa baixas frequências.

• Para ω elevado, |H(jω)|→0 → atenua altas frequências.

O compromisso entre domínio do tempo e da frequência: aumentar RC melhora a atenuação de altas frequências mas torna a resposta ao degrau mais lenta.

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3.10.2 Um filtro RC passa-alto simples

Escolhendo agora como saída a tensão na resistência, a equação diferencial muda para:

$$RC \frac{dv_s(t)}{dt} + v_s(t) = v_r(t)$$

dando uma resposta em frequência:

$$G(jω) = \frac{jωRC}{1 + jωRC}$$

• Atenua baixas frequências.

• Passa altas frequências (para ω ≫ 1/RC).

Tal como no caso passa-baixo, o valor de RC controla a forma da resposta em frequência e a velocidade da resposta no tempo. Ambos os circuitos são exemplos de filtros de primeira ordem, com transições suaves entre banda passante e de rejeição.

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Secção 3.11 — Exemplos de filtros discretos descritos por equações às diferenças

Os filtros em tempo discreto são implementados por equações às diferenças lineares de coeficientes constantes. Podem ser:

• Recursivos (IIR): têm resposta ao impulso infinita.

• Não-recursivos (FIR): resposta ao impulso finita.

Ambos são muito usados em sistemas digitais.

3.11.1 Filtros recursivos de primeira ordem

Um exemplo simples:

$$y[n] - a y[n-1] = x[n]$$

Para entrada exponencial complexa, a resposta em frequência é:

$$H(e^{jω}) = \frac{1}{1 - a e^{-jω}}$$

• Para a>0 (e |a|<1), actua como passa-baixo.

• Para a<0 (e |a|<1), actua como passa-alto.

O parâmetro a controla tanto a largura da banda passante como a velocidade da resposta ao impulso ou degrau.

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3.11.2 Filtros não-recursivos

Forma geral:

$$y[n] = \sum_{k=-N}^{M} b_k x[n-k]$$

Exemplo clássico: filtro de média móvel.
Para três pontos:

$$y[n] = \frac{1}{3}(x[n-1] + x[n] + x[n+1])$$

• Atenua variações rápidas (altas frequências), passa variações lentas (baixas frequências).

• O tamanho da janela controla a frequência de corte.

Outros filtros não-recursivos podem fazer passa-alto. Exemplo:

$$y[n] = \frac{1}{2}(x[n] - x[n-1])$$

atua como um diferenciador discreto, atenuando baixas frequências.

As principais características dos FIR:

• Impulso finito → sempre estáveis.

• Possibilidade de serem causais ou não, dependendo se dependem de amostras futuras.

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Secção 3.12 — Resumo

O capítulo introduz a representação em séries de Fourier para sinais periódicos em tempo contínuo e discreto, explorando a motivação principal: as exponenciais complexas são autofunções de sistemas LTI.

Mostrou-se que:

• Qualquer sinal periódico pode decompor-se numa soma ponderada de exponenciais harmónicas.

• Aplicando um sinal periódico a um sistema LTI, cada coeficiente de Fourier na saída é o produto do coeficiente de entrada pelo valor da resposta em frequência nessa harmónica.

Isto conduz ao conceito de filtragem com sistemas LTI, incluindo a filtragem selectiva de frequência.

O capítulo discutiu:

• Filtros ideais (não realizáveis) como referência teórica.

• Exemplos práticos baseados em equações diferenciais (contínuo) e às diferenças (discreto).

• A importância de compreender as respostas em frequência para conceber sistemas que realizem filtragem conforme os requisitos da aplicação.

Adiantou ainda que nos capítulos seguintes se desenvolverão ferramentas para sinais aperiódicos e uma análise mais detalhada da filtragem.

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Resumo extraído do Capítulo 2, do livro: Electric Machinery - 7ª edição — Fitzgerald & Kingsley - Umans

Capítulo 2 - Transformadores

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2.1 Introdução aos Transformadores

Esta secção introduz o transformador como um dispositivo composto por dois ou mais enrolamentos acoplados por um fluxo magnético comum. Quando uma tensão alternada é aplicada ao enrolamento primário, gera-se um fluxo magnético alternado que induz uma tensão no enrolamento secundário. A razão entre as tensões depende diretamente da razão de espiras entre os enrolamentos.

Apesar de o acoplamento magnético poder ocorrer no ar, o uso de um núcleo ferromagnético (normalmente de aço silício) aumenta significativamente a eficiência do acoplamento, reduzindo perdas e concentrando o fluxo. Para minimizar as correntes de Foucault no núcleo, os transformadores usam núcleos laminados.

Dois tipos de construção comuns:

• Tipo núcleo: os enrolamentos são colocados em dois braços de um núcleo em forma de E;

• Tipo carcaça (shell): os enrolamentos são concentrados num único braço central, com o fluxo a circular por dois caminhos laterais.

Os enrolamentos também geram fluxo de dispersão, que não liga ambos os enrolamentos. Este fluxo, embora menor, influencia o comportamento do transformador. Para o reduzir, os enrolamentos são geralmente intercalados ou enrolados concentricamente.

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2.2 Condições em Vazio

Nesta secção analisa-se o funcionamento do transformador com o secundário em aberto. Quando uma tensão alternada é aplicada ao primário, uma corrente de excitação (ou de magnetização), pequena mas necessária, estabelece o fluxo alternado no núcleo.

Este fluxo induz uma força electromotriz (f.e.m.) no primário, que se opõe à tensão aplicada, e a sua amplitude é determinada pela frequência, número de espiras e tensão aplicada. Assume-se uma forma de onda sinusoidal para simplificar a análise, originando a fórmula:

$$E_1 = \sqrt{2} \pi f N_1 \phi_{max}$$

Assim, para uma tensão aplicada sinusoidal, o fluxo máximo no núcleo depende apenas da tensão, frequência e número de espiras.

A corrente de excitação não é perfeitamente sinusoidal devido às características não-lineares do ferro (histerese e saturação), contendo harmónicas, sendo a terceira harmónica a mais significativa. Apesar disso, como esta corrente é geralmente pequena (1–2% da corrente nominal), pode ser modelada como uma corrente sinusoidal equivalente para efeitos de análise.

Esta corrente pode ser dividida em:

• Componente de perdas no núcleo (em fase com a f.e.m.);

• Corrente de magnetização (em quadratura com a f.e.m., responsável pela criação do fluxo).

A potência dissipada nas perdas do núcleo é dada por:

$$P_{core} = E_1 I_{\phi} \cos(\theta_c)$$

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2.3 Efeito da Corrente no Secundário; Transformador Ideal

Esta secção introduz o transformador ideal, no qual:

• Não há perdas no núcleo;

• O fluxo de dispersão é nulo;

• A permeabilidade do núcleo é infinita (não requer corrente de excitação);

• As resistências dos enrolamentos são desprezáveis.

Para este modelo, a tensão induzida no secundário é proporcional ao número de espiras:

$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{N_1}{N_2}$$

Quando uma carga é ligada ao secundário, uma corrente flui, gerando uma força magnetomotriz (f.m.m.) que tende a alterar o fluxo. No entanto, o primário reage com uma corrente que compensa exatamente a f.m.m. secundária, mantendo o fluxo constante. Assim:

$$N_1 i_1 = N_2 i_2 \Rightarrow \frac{i_1}{i_2} = \frac{N_2}{N_1}$$

O transformador ideal conserva a potência:

$$v_1 i_1 = v_2 i_2$$

Além disso, as impedâncias vistas do primário ou do secundário relacionam-se com o quadrado da razão de espiras:

$$Z_1 = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 Z_2$$

Este princípio permite simplificar a análise de circuitos com transformadores, referindo tensões, correntes e impedâncias para um dos lados do transformador, eliminando a necessidade de representar explicitamente o transformador ideal no circuito.

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2.4 – Reatâncias e Circuitos Equivalentes do Transformador

Nesta secção, o foco passa do transformador ideal para o transformador real, que apresenta imperfeições como:

• Resistência dos enrolamentos,

• Fluxo de dispersão,

• Corrente de excitação finita,

• Perdas no núcleo.

Modelação Física e Circuito Equivalente

O circuito equivalente baseia-se em considerações físicas. O fluxo total no primário é dividido em duas componentes:

• Fluxo mútuo, que atravessa o núcleo e liga ambos os enrolamentos;

• Fluxo de dispersão, que só liga um dos enrolamentos (não contribui para a transferência de energia).

Para representar as perdas, o circuito equivalente incorpora:

• Resistência do enrolamento primário $R_1$;

• Reatância de dispersão no primário $X_{l1}$;

• Ramo de excitação, com:

  • Resistência de perdas no núcleo $R_c$;

  • Reatância de magnetização $X_m$, associada à criação do fluxo.

O ramo de excitação está ligado em paralelo com a tensão induzida no primário $E_1$, e representa a corrente de excitação ($I_\phi$), que se divide em:

• Corrente de perdas no núcleo ($I_c$);

• Corrente de magnetização ($I_m$).

Do lado secundário, surgem efeitos semelhantes:

• Resistência de perdas no enrolamento secundário $R_2$;

• Reatância de dispersão no secundário $X_{l2}$;

• Tensão induzida $E_2$;

• Corrente $I_2$.

Transformação para um Único Lado

Para simplificar a análise, todos os parâmetros e grandezas (correntes, tensões, impedâncias) podem ser referidos ao lado primário ou ao lado secundário, eliminando a necessidade de representar explicitamente o transformador ideal. Para isso, utilizam-se as relações de transformação:

• Correntes:

  $$I'_2 = \frac{N_2}{N_1} I_2$$

• Tensões:

  $$V'_2 = \frac{N_1}{N_2} V_2$$

• Impedâncias:

  $$Z'_2 = \left( \frac{N_1}{N_2} \right)^2 Z_2$$

Este modelo dá origem ao circuito equivalente em T, com os elementos agrupados:

• Impedâncias em série: $R_1 + R'_2$, $X_{l1} + X'_{l2}$;

• Ramo de excitação em derivação (Rc e Xm).

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2.5 – Aspectos de Engenharia na Análise de Transformadores

Esta secção trata das simplificações práticas do circuito equivalente, usadas em análises de engenharia. Como os transformadores reais geralmente operam com perdas reduzidas e corrente de excitação pequena, é comum adotar modelos aproximados, de acordo com o nível de precisão necessário.

Modelos Aproximados

São apresentados quatro modelos principais:

1. Circuito em T completo:
   Contém todas as impedâncias, transformador ideal e ramo de excitação. Usado quando é necessária precisão elevada.

2. Circuito em "cantilever":
   O ramo de excitação é movido para um dos lados, ficando junto aos terminais do primário ou do secundário. Esta simplificação ignora a queda de tensão da corrente de excitação nas impedâncias de dispersão — uma omissão geralmente desprezável.

3. Modelo série simplificado:
   Ignora totalmente o ramo de excitação, mantendo apenas a impedância série $R_{eq} + jX_{eq}$. Adequado para transformadores grandes, onde a corrente de excitação é muito pequena.

4. Transformador ideal:
   Todos os efeitos não ideais são desprezados. Usado em situações de baixa exigência ou como primeira aproximação.

Cálculos Típicos em Engenharia

Duas grandezas importantes em engenharia:

• Regulação de tensão:
  Percentagem de variação da tensão aos terminais do secundário entre carga nula e carga plena, com a tensão do primário constante. Uma regulação baixa indica melhor qualidade.

• Rendimento (eficiência):

  $$\eta = \frac{P_{útil}}{P_{entrada}} = 1 - \frac{P_{perdas}}{P_{entrada}}$$

  Considera perdas no cobre (I²R) e perdas no ferro (constantes à tensão nominal).

Ensaios para Obtenção de Parâmetros

Dois ensaios permitem determinar os parâmetros dos modelos:

1. Ensaio em curto-circuito (secundário curto-circuitado, tensão reduzida no primário):
   Mede-se a impedância série equivalente $Z_{eq} = R_{eq} + jX_{eq}$. A corrente é de valor nominal. As perdas medidas são as perdas no cobre.

2. Ensaio em vazio (secundário em aberto, tensão nominal no primário):
   Mede-se o ramo de excitação: $R_c$ e $X_m$. As perdas medidas correspondem às perdas no ferro. A corrente é a corrente de excitação.

Estas medições permitem caracterizar completamente o transformador e construir o modelo equivalente adequado para qualquer condição de operação.

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2.6 – Autotransformadores e Transformadores com Enrolamentos Múltiplos

2.6.1 Autotransformadores

Os autotransformadores diferem dos transformadores comuns por terem uma única bobina partilhada entre o primário e o secundário. Embora possam transformar tensões, correntes e impedâncias da mesma forma, não oferecem isolamento eléctrico entre entrada e saída, o que pode ser uma desvantagem em algumas aplicações.

• Vantagens: Menor reactância de fuga, menores perdas, corrente de excitação reduzida e custo mais baixo, especialmente para relações de transformação próximas de 1:1.

• Exemplo 2.7: Demonstra como um transformador de 50 kVA, ao ser ligado como autotransformador, pode atingir uma potência equivalente de 550 kVA devido à parte da potência ser transferida por condução directa (ligação comum) e não por acoplamento magnético. A eficiência é extremamente elevada (99,82%) porque as perdas permanecem as mesmas mas a potência útil aumenta.

• Conclusão: A potência aparente de um autotransformador é maior que a de um transformador comum, mas a potência realmente transformada é a mesma.

2.6.2 Transformadores com Enrolamentos Múltiplos

São transformadores com três ou mais enrolamentos, muito utilizados em sistemas que necessitam de interligar múltiplas redes com diferentes níveis de tensão.

• Aplicações comuns: Fontes de alimentação com múltiplas saídas, distribuição doméstica (com dois enrolamentos de 120 V ligados em série para fornecer 240 V), e sistemas de subestações com enrolamento terciário para serviços auxiliares, compensação de potência reactiva ou atenuação de harmónicas.

• Modelação: Exige circuitos equivalentes mais complexos, pois é necessário considerar as impedâncias de fuga entre cada par de enrolamentos. Normalmente, todos os parâmetros são referidos a uma base comum ou expressos em sistema por unidade (pu).

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2.7 – Transformadores em Circuitos Trifásicos

Em sistemas trifásicos é comum agrupar três transformadores monofásicos ou usar um único transformador trifásico.

• Ligações típicas:

  • Y-Y

  • Y-Δ

  • Δ-Y

  • Δ-Δ
    Cada ligação tem características específicas quanto a tensão, corrente e presença de neutro.

• Ligação Y-Δ: Muito usada para redução de tensão, permitindo ligação do neutro à terra no lado de alta tensão.

• Ligação Δ-Δ: Permite operação com apenas dois transformadores (ligação em "V") em caso de manutenção, com potência reduzida (~58%).

• Exemplo 2.8: Cálculo da tensão na carga de uma ligação Y-Δ trifásica com queda de tensão ao longo da linha. Mostra como os cálculos podem ser feitos por fase, facilitando a análise.

• Exemplo 2.9: Análise de uma corrente de curto-circuito trifásica. Mostra o cálculo das correntes nos vários pontos do sistema (primário, secundário e terminais de carga), com ênfase nas implicações da ligação Δ-Y.

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2.8 – Transformadores de Tensão e Corrente (Instrumentação)

Esta secção trata dos transformadores de potencia (PT) e transformadores de corrente (CT), utilizados para medição precisa em sistemas de potência, reduzindo as grandezas reais a níveis seguros e manejáveis para instrumentos (ex.: 120 V e 5 A).

• Transformador de Potencia (PT):

  • Idealmente mede a tensão sem carregar o circuito (impedância de carga alta).

  • São introduzidos erros pelo fluxo de excitação e pelas impedâncias dos enrolamentos.

  • O erro pode ser minimizado com reactância de magnetização elevada e impedâncias de enrolamento baixas.

• Transformador de Corrente (CT):

  • Idealmente mede a corrente apresentando-se como curto-circuito ao sistema (impedância de carga baixa).

  • Os erros são causados pela corrente de magnetização não transferida para o secundário.

  • Para minimizar os erros, requer impedância de magnetização elevada e baixas impedâncias no secundário.

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2.9 – O Sistema por Unidade

O sistema por unidade é uma técnica de normalização em que grandezas eléctricas (tensão, corrente, impedância, potência, etc.) são expressas como frações decimais dos seus valores base. Este sistema é amplamente utilizado na análise de sistemas eléctricos de potência, particularmente em redes com muitos transformadores, linhas e máquinas.

Vantagens do sistema por unidade:

• Simplificação de cálculos: Os transformadores passam a ter relação de transformação 1:1 quando as tensões base são escolhidas de forma compatível, eliminando a necessidade de referir impedâncias entre lados.

• Uniformidade de valores: Os parâmetros eléctricos, quando expressos em pu com base nos dados nominais dos equipamentos, tendem a variar dentro de intervalos reduzidos, facilitando comparações.

• Facilidade em análises de sistemas complexos: Os cálculos tornam-se mais directos e os erros mais fáceis de detectar.

Definições fundamentais:

• Cada grandeza por unidade (pu) é dada por:
  valor pu = valor real / valor base

• Os valores base estão relacionados entre si:

  • Potência base: S_base = V_base × I_base

  • Impedância base: Z_base = V_base / I_base = V_base² / S_base

• Apenas duas grandezas base são escolhidas livremente (normalmente tensão e potência), e as restantes derivam dessas.

Aplicações:

• Usado tanto em análises monofásicas como em sistemas trifásicos.

• Em sistemas trifásicos:

  • S_base_trifásica = 3 × S_base_fase

  • V_base_linha-neutro = V_base_linha-linha / √3

  • Z_base = V²_base / S_base

Exemplos e Problemas:

• Exemplo 2.12: Mostra a conversão de um circuito equivalente de um transformador para por unidade em ambos os lados (alta e baixa tensão), com simplificação para eliminar o transformador ideal (1:1).

• Exemplo 2.13: Demonstra que as impedâncias e correntes expressas em pu são iguais em ambos os lados do transformador quando as bases são escolhidas adequadamente.

• Exemplo 2.14: Repete o cálculo da corrente de curto-circuito trifásico de um exemplo anterior, mas usando exclusivamente valores por unidade.

• Exemplo 2.15: Usa o sistema por unidade para determinar a tensão no lado de alta tensão de um transformador, dado o consumo da carga e a impedância da máquina.

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2.10 – Resumo

Embora os transformadores sejam dispositivos estáticos (não envolvem movimento mecânico), eles são fundamentais no estudo de sistemas electromecânicos por partilharem muitos conceitos com máquinas rotativas, como:

• Fluxo magnético,

• Corrente de excitação,

• Fluxo mútuo e de fuga,

• Indutâncias e f.m.m. (força magnetomotriz).

Pontos principais:

• O fluxo mútuo no núcleo é responsável pela indução de tensões proporcionais ao número de espiras.

• Nas máquinas rotativas, o fluxo atravessa uma folga de ar entre estator e rotor, mas o princípio de indução mantém-se.

• A diferença chave é que nas máquinas há movimento relativo, o que gera uma componente adicional na tensão induzida: a tensão de velocidade, fundamental na conversão de energia electromecânica (estudada no Capítulo 3).

• A f.e.m. (força electromotriz) de contraposição no enrolamento primário deve equilibrar a tensão aplicada, tal como nas máquinas AC.

• A corrente no primário ajusta-se para garantir que a f.m.m. total produz o fluxo necessário — comportamento idêntico ao das máquinas AC.

• O fluxo de fuga, presente tanto em transformadores como em máquinas rotativas, origina reactâncias de fuga que reduzem o fluxo mútuo.

• Os testes de caracterização (circuito aberto e curto-circuito) são semelhantes em ambos os tipos de equipamento.

• O modelo de saturação do circuito magnético também segue o mesmo raciocínio: assume-se linearidade nas reactâncias de fuga e saturação apenas no circuito magnético principal.

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2.11 – Variáveis do Capítulo 2

Tabela de símbolos e unidades usadas ao longo do capítulo, agrupando variáveis e subscritos com os seus significados. Exemplos:

Variáveis Principais

Símbolo	Significado	Unidade
λ	Fluxo concatenado	Weber (Wb)
ω	Frequência angular	radianos/segundo (rad/s)
ϕ, ϕₘₐₓ	Fluxo magnético, fluxo magnético máximo	Weber (Wb)
Φ̂	Fluxo magnético (amplitude complexa)	Weber (Wb)
θ	Ângulo de fase	radianos (rad)
Bₘₐₓ	Densidade de fluxo magnético de pico	Tesla (T)
e	Força electromotriz (f.e.m.), tensão induzida	Volt (V)
E	Tensão	Volt (V)
Ê	Tensão (amplitude complexa)	Volt (V)
f	Frequência	Hertz (Hz)
i, I	Corrente	Ampère (A)
iϕ	Corrente de excitação	Ampère (A)
Î	Corrente (amplitude complexa)	Ampère (A)
Îc	Componente de perdas no núcleo da corrente de excitação	Ampère (A)
Îm	Corrente de magnetização (amplitude complexa)	Ampère (A)
Îϕ	Corrente de excitação (amplitude complexa)	Ampère (A)
L	Indutância	Henry (H)
N	Número de espiras	—
Q	Potência reactiva	Volt-Ampère Reactivo (VAR)
R	Resistência	Ohm (Ω)
R_base	Resistência base	Ohm (Ω)
t	Tempo	Segundo (s)
v, V	Tensão	Volt (V)
V_base	Tensão base	Volt (V)
V̂	Tensão (amplitude complexa)	Volt (V)
VA	Volt-Ampère (potência aparente)	Volt-Ampère (VA)
X	Reactância	Ohm (Ω)
Z	Impedância	Ohm (Ω)
ZΔ	Impedância equivalente em Δ	Ohm/fase (Ω/fase)
Zϕ	Impedância de excitação	Ohm (Ω)
ZY	Impedância equivalente em Y	Ohm/fase (Ω/fase)

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Subscritos Comuns

Subscrito	Significado
ϕ	Excitação
b	Carga (burden)
base	Valor base
c	Núcleo (core)
eq	Equivalente
H	Lado de alta tensão
l	Fluxo de fuga (leakage)
l-n	Linha-neutro
L	Lado de baixa tensão
m	Magnetização
max	Máximo
oc	Circuito aberto (open circuit)
pu	Por unidade (per unit)
rms	Valor eficaz (root mean square)
s	Envio (sending)
sc	Curto-circuito (short circuit)
tot	Total

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