Resposta de Circuitos RL em regime transitório

Resolução do Exercício 3B, aula teórica 6, UBI, 2024-2025.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Control System Engineering, 6th Edition by Norman S. Nise

2.1 Introdução
Esta secção inicia a discussão sobre a modelação de sistemas físicos. São apresentados dois métodos principais de modelação: (1) funções de transferência no domínio da frequência e (2) equações de estado no domínio do tempo. O foco deste capítulo é a primeira abordagem, que permite separar de forma clara a entrada, o sistema (modelo) e a saída. A importância de aplicar as leis físicas fundamentais (como a lei de Ohm, as leis de Kirchhoff e as leis de Newton) para obter as equações diferenciais que regem o comportamento dos sistemas.

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2.2 Revisão da Transformada de Laplace
Nesta secção revê-se a transformada de Laplace, ferramenta essencial para converter equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a análise e a resolução dos sistemas.

• Definição e Propriedades: É apresentada a definição da transformada de Laplace e a importância do parâmetro complexo "S". Discutem-se as condições de existência (convergência) e a utilidade das condições iniciais, mesmo quando estas são descontínuas.

• Transformada Inversa: Explica-se como recuperar a função original através da transformada inversa e como a utilização de tabelas simplifica o processo, evitando integrações complexas.

• Teoremas e Expansões: São listados vários teoremas fundamentais (linearidade, deslocamento no tempo e na frequência, diferenciação, integração) que facilitam a manipulação das transformadas. A técnica de expansão em frações parciais é introduzida para decompor funções complexas em termos mais simples, facilitando assim a aplicação da transformada inversa.

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2.3 A Função de Transferência
Esta secção mostra como se pode obter uma representação do sistema que separa claramente a entrada, o sistema e a saída.

• Derivação a partir de Equações Diferenciais: Começa com uma equação diferencial linear e invariante no tempo, transformando-a utilizando a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas) para obter uma relação algébrica entre saída, C(s) e entrada, R(s).

• Definição e Representação: A função de transferência G(s) é definida como a razão entre a saída e a entrada (C(s)/R(s)). É enfatizado que o denominador desta função corresponde ao polinómio característico do sistema, e a representação em diagramas de blocos facilita a compreensão das interconexões dos subsistemas.

• Exemplos Práticos: São apresentados exemplos que ilustram a extração da função de transferência a partir de equações diferenciais simples, demonstrando como se pode obter a resposta do sistema a um determinado estímulo.

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2.4 Funções de Transferência em Circuitos Eléctricos
Nesta secção, o foco desloca-se para a modelação de circuitos elétricos, abrangendo tanto circuitos passivos (compostos por resistências, condensadores e bobines) como circuitos ativos com amplificadores operacionais.

• Modelação de Circuitos Passivos:

  • Relações Fundamentais: São resumidas as relações entre tensão, corrente e carga (ex.: a lei de Ohm e as relações de impedância e admitância para condensadores e bobines).

  • Análise por Malhas e Nós: São descritos métodos para obter a função de transferência, utilizando a análise por malhas (aplicação da lei das tensões de Kirchhoff) e a análise nodal (aplicação da lei das correntes de Kirchhoff).

  • Exemplos de Circuitos: São mostrados exemplos em que se determina a função de transferência de circuitos RLC simples, utilizando técnicas como a divisão de tensão e o redesenho dos circuitos no domínio de Laplace, onde os componentes são substituídos pelas suas impedâncias.

• Circuitos com Amplificadores Operacionais:

  • Configurações Inversora e Não Inversora: Explica-se o funcionamento básico dos amplificadores operacionais, destacando as suas características ideais (alta impedância de entrada, baixa impedância de saída e ganho elevado).

  • Implementação de Funções de Transferência: São apresentadas as configurações de circuitos inversores e não inversores, onde a função de transferência é determinada através de relações entre as impedâncias conectadas ao amplificador.

  • Aplicações Práticas: Um dos exemplos discutidos é o circuito PID (Proporcional-Integral-Derivativo), que utiliza um amplificador operacional para melhorar o desempenho do sistema de controlo.

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Controlo - FEUP

Resolução da pergunta 3.d) da Série de problemas 5, de Controlo, 2024-2025, da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Microelectronic Circuits", 6th Edition, de Sedra and Smith

Secção 2.1 – Introdução aos Amplificadores Operacionais

Esta secção introduz o conceito de amplificadores operacionais (AmpOps), destacando a sua versatilidade e importância em circuitos analógicos. Os amplificadores operacionais são dispositivos amplamente utilizados devido às suas características ideais, como ganho de tensão infinito, impedância de entrada infinita e impedância de saída nula.​

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Secção 2.2 – O Amplificador Operacional Ideal

Aqui, são discutidas as propriedades do amplificador operacional ideal, incluindo:​

• Ganho de tensão infinito: O AmpOp ideal amplifica qualquer diferença de tensão entre as suas entradas de forma ilimitada.​
• Impedância de entrada infinita: Não há corrente nas entradas, permitindo que o AmpOp  não carregue os circuitos anteriores.​
• Impedância de saída nula: A tensão de saída não é afetada pela carga conectada ao amplificador.​

Estas características permitem simplificar a análise de circuitos que utilizam amplificadores operacionais.​

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Secção 2.3 – Circuitos com Amplificadores Operacionais Ideais

Esta secção explora diversas configurações de circuitos que utilizam amplificadores operacionais ideais, tais como:​

• Amplificador inversor: Inverte a fase do sinal de entrada e proporciona um ganho determinado pela razão de resistências no circuito.​
• Amplificador não inversor: Mantém a fase do sinal de entrada e oferece um ganho positivo.​
• Seguidor de tensão (buffer): Fornece uma cópia exata da tensão de entrada na saída, com alta impedância de entrada e baixa impedância de saída.​
• Somador: Combina vários sinais de entrada numa única saída, ponderada por resistências específicas.​
• Integrador e diferenciador: Realizam operações matemáticas de integração e diferenciação sobre o sinal de entrada, respectivamente.​

Cada configuração é acompanhada de análises detalhadas e exemplos práticos de aplicação.​

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Secção 2.4 – Amplificadores Operacionais Reais e suas Características

Nesta secção, são abordadas as diferenças entre os amplificadores operacionais ideais e os reais. Os AmpOps reais apresentam limitações como:​

• Ganho de tensão finito: Embora elevado, é limitado e varia com a frequência.​
• Impedância de entrada alta, mas finita: Pode permitir pequenas correntes de entrada.​
• Impedância de saída baixa, mas não nula: Pode influenciar a tensão de saída dependendo da carga.​
• Largura de banda limitada: O ganho diminui a altas frequências.​
• Offset de tensão de entrada: Pequena tensão diferencial necessária para obter uma saída zero.​

A compreensão destas imperfeições é fundamental para o projeto de circuitos com amplificadores operacionais.​

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Secção 2.5 – Aplicações Avançadas de Amplificadores Operacionais

Esta secção explora aplicações mais complexas dos amplificadores operacionais, incluindo:​

• Filtros ativos: Implementação de filtros passa-baixo, passa-alto, passa-banda e rejeita-banda utilizando AmpOps para controlar características de frequência.​
• Osciladores: Geração de sinais periódicos sinusoidais ou de outra forma, utilizando realimentação positiva em circuitos com amplificadores operacionais.​
• Conversores de sinal: Circuitos que convertem sinais analógicos em digitais (ADC) ou digitais em analógicos (DAC) com o auxílio de amplificadores operacionais.​

São fornecidos exemplos práticos e análises de desempenho para cada aplicação.

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MEA - ENIDH - Exame de 27-01-2025, prob4, pág. 3

Máquinas Elétricas e Acionamentos.

Resolução de problema sobre motor de indução. Página 3 de 3.

A página 2 está aqui.

 

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Resumo extraído do Capítulo 25, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

O capítulo explora a importância do potencial elétrico na física e na engenharia, abordando desde conceitos teóricos até aplicações práticas.

1. Introdução ao Potencial Elétrico

O potencial elétrico (V) é definido como a energia potencial elétrica por unidade de carga. A sua unidade no SI é o volt (V), e sua expressão matemática é: 

$V = \frac{U}{q}$ 

onde:

• $V$ é o potencial elétrico em volts (V),

• $U$ é a energia potencial elétrica (J),

• $q$ é a carga elétrica (C).

2. Diferença de Potencial e Energia Potencial Elétrica

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B é dada por: $V_B - V_A = - \int_A^B \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s}$ Isso significa que a diferença de potencial elétrico é uma medida do trabalho necessário para mover uma carga de um ponto para outro dentro de um campo elétrico.

3. Potencial Devido a Diferentes Distribuições de Carga

• Carga Puntiforme: O potencial devido a uma carga pontual $q$ a uma distância $r$ é dado por: $V = \frac{kq}{r}$

• Distribuições Contínuas de Carga: O potencial de uma linha, superfície ou volume carregado é encontrado através da integral: $V = k \int \frac{dq}{r}$

4. Superfícies Equipotenciais

• Superfícies onde o potencial elétrico é constante.

• O campo elétrico é sempre perpendicular a essas superfícies.

• Nenhum trabalho é realizado ao mover uma carga dentro de uma superfície equipotencial.

5. Relação Entre Campo Elétrico e Potencial

O campo elétrico aponta na direção de maior variação do potencial e sempre no sentido de potencial decrescente.

6. Aplicações do Potencial Elétrico

• Condensadores e armazenamento de energia elétrica.

• Tubos de raios catódicos e TV antigas.

• Circuitos elétricos e a relação entre tensão, corrente e resistência.

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Análise de Circuitos, Frequência 1

E6-A, Frequência 1, 29-4-2022 - UBI

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Signals and Systems" de Oppenheim e Nawab

Este capítulo apresenta a base matemática dos sistemas LTI, destacando a convolução como ferramenta central. As propriedades estabelecidas são fundamentais para análise e projeto de sistemas, em Sinais e Sistemas.

Resumo do Capítulo 2: Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LTI)

2.0 Introdução

Os sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI), desempenham um papel essencial na análise de sinais e sistemas. A linearidade e a invariância no tempo são propriedades fundamentais que facilitam a modelação de processos físicos e permitem uma análise detalhada com ferramentas matemáticas como a convolução.

2.1 Sistemas LTI em Tempo Discreto: Soma de Convolução

Representação de Sinais em Tempo Discreto

A ideia principal é representar um sinal discreto como uma combinação linear de impulsos unitários deslocados. Isso permite decompor qualquer sinal x[n] na forma:

$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\delta[n-k]$

Resposta ao Impulso e Soma de Convolução

Para sistemas lineares, a resposta a um impulso deslocado pode ser expressa em termos da resposta ao impulso unitário, h[n]. Assim, a saída y[n] de um sistema LTI pode ser obtida pela soma de convolução:

$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n-k]$

Esta expressão implica que um sistema LTI é completamente caracterizado pela sua resposta ao impulso.

Exemplos

Vários exemplos ilustram o cálculo da convolução em tempo discreto, incluindo sinais exponenciais e funções degrau.

2.2 Sistemas LTI em Tempo Contínuo: Integral de Convolução

Representação de Sinais Contínuos

Sinais contínuos podem ser representados como uma soma de impulsos infinitesimais, levando à expressão integral:

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau$

Resposta ao Impulso e Integral de Convolução

Analogamente ao caso discreto, a saída de um sistema LTI contínuo pode ser obtida através do integral de convolução:

$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau$

Exemplos

São discutidos exemplos práticos de cálculo de convolução em sinais exponenciais e retangulares, demonstrando a aplicação prática do integral de convolução.

2.3 Propriedades dos Sistemas LTI

Comutatividade

A convolução é uma operação comutativa:

$x[n] * h[n] = h[n] * x[n]$

Distributividade

A convolução distribui-se sobre a adição:

$x[n] * (h_1[n] + h_2[n]) = x[n] * h_1[n] + x[n] * h_2[n]$

Associatividade

A associação de três sinais na convolução é independente da ordem:

$x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) = (x[n] * h_1[n]) * h_2[n]$

Estas propriedades facilitam a análise e simplificação de circuitos e sistemas.

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Transformador DC - Exercício resolvido, pág 5 de 5

Problema II da 1ª frequência de 2023, de Máquinas Elétricas e Acionamentos

A pág. 4 está aqui.

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro "Logic and Computer Design Fundamentals" de Morris Mano

O capítulo 2 apresenta conceitos fundamentais sobre lógica combinatória, fornecendo a base para o projeto e otimização de circuitos digitais. As técnicas abordadas, como álgebra de Boole e Mapas de Karnaugh, são essenciais para a redução de custos e eficiência no design de sistemas digitais.

Capítulo 2 - Circuitos Lógicos Combinacionais

2.1 Lógica Binária e Portas Lógicas

Os circuitos digitais manipulam informação binária, sendo implementados em circuitos integrados. As portas lógicas são os blocos básicos, modeladas matematicamente sem a necessidade de compreender os seus componentes internos.

Operações Básicas da Álgebra de Boole

• AND: A saída é 1 apenas se todas as entradas forem 1.

• OR: A saída é 1 se pelo menos uma entrada for 1.

• NOT: Inverte o valor da entrada.

• NAND e NOR: Complementos das operações AND e OR, respectivamente.

• XOR e XNOR: Exclusivo-OU e o seu complemento.

2.2 Álgebra de Boole

A álgebra de Boole é uma ferramenta fundamental para a manipulação de expressões lógicas. Os operadores seguem leis e identidades que ajudam na simplificação dos circuitos:

• Leis Comutativa, Associativa e Distributiva

• Teorema de DeMorgan, que inverte a operação e os complementos

• Teorema da Consistência: elimina redundâncias em expressões lógicas

2.3 Formas Padrão de Expressões Booleanas

As funções lógicas podem ser expressas de duas formas padronizadas:

• Soma de Produtos (Sum of Products - SOP): Expressão formada por um conjunto de produtos (AND) somados (OR).

• Produto de Somas (Product of Sums - POS): Expressão com um conjunto de somas (OR) multiplicadas (AND).

Os conceitos de mintermos e maxtermos permitem a representação sistemática das funções lógicas.

2.4 Otimização de Circuitos de Dois Níveis

A otimização procura reduzir a complexidade de um circuito. O Mapa de Karnaugh (K-map) é uma ferramenta visual para simplificar expressões booleanas eliminando redundâncias e reduzindo o número de portas lógicas.

Critérios de Custo

• Custo Literal: Quantidade de aparições das variáveis.

• Custo de Entrada das Portas: Soma das entradas necessárias para implementar a expressão.

A minimização das expressões reduz a quantidade de portas e o tempo de propagação do sinal.

2.5 Linguagens de Descrição de Hardware (HDLs)

As linguagens VHDL e Verilog são introduzidas para descrever circuitos digitais. Elas permitem a modelação estrutural e comportamental dos circuitos e facilitam a automação do projeto e a síntese de hardware.

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Frequência 1 de Análise de Circuitos

E6-A, Frequência 1, 29-4-2022 - UBI

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Resumo extraído do Capítulo 2 do livro Basic Engineering Circuit Analysis de J. David Irwin e R. Mark Nelms

Resumo do Capítulo 2 – Circuitos Resistivos

Objetivos de Aprendizagem

Este capítulo apresenta os fundamentos da análise de circuitos resistivos e ensina os alunos a:

• Aplicar a Lei de Ohm para calcular tensões e correntes.
• Utilizar as Leis de Kirchhoff para determinar tensões e correntes nos circuitos.
• Analisar circuitos de malha única e de nó único para calcular os parâmetros elétricos.
• Determinar a resistência equivalente de redes de resistores em série e paralelo.
• Aplicar os princípios da divisão de tensão e corrente.
• Transformar redes resistivas do tipo estrela para triângulo e vice-versa.
• Analisar circuitos com fontes dependentes.

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2.1 – Lei de Ohm

A Lei de Ohm estabelece que a tensão ($V$) através de uma resistência é proporcional à corrente ($I$) que a atravessa, com a resistência ($R$) como constante de proporcionalidade:

$$V = RI$$

As resistências são dispositivos que podem ser compradas com valores padronizados e são fabricadas em diferentes materiais, como carbono, fio enrolado, filme metálico ou semicondutores.

Outros conceitos abordados:

• A potência dissipada por uma resistência é dada por: $$P = VI = I^2 R = \frac{V^2}{R}$$
• A condutância ($G$) é o inverso da resistência: $$G = \frac{1}{R}$$

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2.2 – Leis de Kirchhoff

Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL)

A soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é zero:

$$\sum I_{\text{entrada}} = \sum I_{\text{saída}}$$

Lei das Tensões de Kirchhoff (KVL)

A soma algébrica das tensões em qualquer malha fechada de um circuito é zero:

$$\sum V = 0$$

Isto é consequência da conservação de energia.

O capítulo apresenta exemplos práticos destas leis aplicadas a circuitos simples e complexos.

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2.3 – Circuitos de Malha Única

Circuitos de malha única contêm apenas um caminho fechado para a corrente. Aplicam-se a eles:

• Lei das Tensões de Kirchhoff (KVL) para encontrar tensões.
• Lei de Ohm para calcular correntes.
• O conceito de divisão de tensão: $$V_R = \frac{R}{R_{\text{total}}} V_{\text{fonte}}$$
• Redução de fontes de tensão em série para uma única fonte equivalente.

Exemplos incluem circuitos em série e análise de perdas de potência em linhas de transmissão.

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2.4 – Circuitos de Nó Único

Em circuitos paralelos, todos os elementos compartilham a mesma tensão. Aplicam-se a eles:

• Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL) para encontrar correntes.
• Lei de Ohm para calcular tensões.
• O conceito de divisão de corrente: $$I_R = \frac{R_{\text{outro}}}{R_1 + R_2} I_{\text{fonte}}$$
• Redução de resistências em paralelo: $$R_{\text{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$$
• Redução de fontes de corrente em paralelo para uma única fonte equivalente.

Exemplos incluem circuitos com várias fontes e métodos para encontrar a resistência equivalente em terminais específicos.

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Em suma

Este capítulo introduz as leis e conceitos fundamentais para a análise de circuitos resistivos, abordando tanto circuitos simples como redes complexas. O conhecimento adquirido aqui serve de base para estudos mais avançados em análise de circuitos elétricos.

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Resolução de problema sobre motor de indução. Página 2 de 3.

Máquinas Elétricas e Acionamentos.

MEA - ENIDH - Exame de 27-01-2025, prob4

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Resumo extraído do Capítulo 24, do livro: Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 9th Ed

O capítulo 24 do livro Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics aborda a Lei de Gauss, uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos de distribuições de carga altamente simétricas. O capítulo está dividido nas seguintes secções:

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24.1 Fluxo Elétrico

O conceito de fluxo elétrico é introduzido como a medida da quantidade de linhas de campo elétrico que atravessam uma determinada superfície. Se o campo elétrico $\mathbf{E}$ for uniforme e a superfície tiver uma área $A$, o fluxo elétrico $\Phi_E$ é dado por:

$$\Phi_E = E A \cos \theta$$

onde $\theta$ é o ângulo entre o vetor campo elétrico e o vetor normal à superfície. Para superfícies não planas ou campos elétricos variáveis, o fluxo elétrico é expresso como um integral de superfície:

$$\Phi_E = \int_{\text{superfície}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$$

O fluxo elétrico através de uma superfície fechada pode ser positivo (mais linhas de campo saindo do que entrando), negativo (mais linhas entrando do que saindo) ou nulo (quantidade igual de linhas entrando e saindo).

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24.2 Lei de Gauss

A Lei de Gauss estabelece que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada ($\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$) é proporcional à carga líquida $q_{\text{in}}$ dentro da superfície:

$$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$$

onde $\varepsilon_0$ é a permissividade elétrica do vácuo.

• Se uma superfície fechada contém um ponto de carga $q$, o fluxo elétrico é $q/\varepsilon_0$.
• Se a carga está fora da superfície fechada, o fluxo líquido é zero, pois as linhas de campo que entram também saem.

A Lei de Gauss é particularmente útil para distribuições de carga simétricas, onde permite calcular o campo elétrico sem recorrer a integrais complicados.

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24.3 Aplicação da Lei de Gauss a Diferentes Distribuições de Carga

A Lei de Gauss é utilizada para determinar o campo elétrico em distribuições simétricas:

1. Distribuição esférica (esfera carregada uniformemente):

   • Fora da esfera ($r > a$): o campo comporta-se como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
   • Dentro da esfera ($r < a$): o campo cresce linearmente com $r$.
   $$E_{\text{fora}} = \frac{k_e Q}{r^2}, \quad E_{\text{dentro}} = \frac{k_e Q}{a^3} r$$
   

2. Distribuição cilíndrica (fio infinito com carga linear $\lambda$):

   • O campo elétrico decresce com a distância $r$ do eixo do cilindro:
   $$E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$$

3. Plano infinito de carga (densidade superficial $\sigma$):

   • O campo elétrico é constante e independente da distância:
   $$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

4. Duas placas carregadas (condensador de placas paralelas):

   • O campo entre as placas é uniforme e dado por:
   $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

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24.4 Condutores em Equilíbrio Eletrostático

Quando um condutor está em equilíbrio eletrostático, apresenta as seguintes propriedades:

1. O campo elétrico dentro do condutor é zero, pois as cargas livres redistribuem-se até que a força elétrica interna desapareça.

2. Toda a carga líquida reside na superfície externa do condutor.

3. O campo elétrico logo fora do condutor é perpendicular à sua superfície e tem magnitude:

   $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

4. Em condutores de formato irregular, a densidade de carga é maior em regiões de menor raio de curvatura (pontos pontiagudos acumulam mais carga).

Estas propriedades explicam fenómenos como o efeito de blindagem eletrostática e a gaiola de Faraday.

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